Réponses détaillées à tes 7 questions de compréhension, avec les démonstrations à savoir refaire et un exercice pour vérifier.
Lecture du poly. J'ai relu les 25 diapos avec leurs formules (version corrigée du 15/11) : les numéros de diapos renvoient à ton poly et les notations sont les siennes. Les passages reconstruit sont des démonstrations que j'ai refaites moi-même, plus détaillées que le poly. Les passages hors poly sont des ajouts de rigueur qui n'y figurent pas. La section 9 liste ce que la relecture a confirmé ou corrigé.
Idée. Un mouvement virtuel est un champ de vitesses $V^*(M)$ défini à $t$ fixé, choisi arbitrairement, sans lien avec le mouvement réel. Aucun temps ne s'écoule : ce n'est la vitesse de rien. C'est un champ-test.
Le principe des puissances virtuelles (PPV) affirme que, pour tout mouvement virtuel, $$P^*_{acc}=P^*_{ext}+P^*_{int}.$$ C'est l'esprit d'une formulation faible : une équation $E=0$ est vraie si et seulement si $\langle E,\varphi\rangle=0$ pour toute fonction-test $\varphi$. Chaque champ $V^*$ donne une équation scalaire, et on en choisit assez pour récupérer toute l'information.
Différence avec la vitesse réelle. La vitesse réelle contient le terme $\partial OP/\partial t$ (le mouvement imposé par le temps, par exemple un support mobile). La vitesse virtuelle ne le contient pas, puisque $t$ est figé : $$V^*=\sum_{i=1}^n\frac{\partial OP}{\partial q_i}\,\dot q_i^*.$$ Les $\dot q_i^*$ sont des nombres choisis librement, sous réserve de compatibilité avec les liaisons (§6).
Ce que dit le poly (diapos 2-3). Il distingue deux objets, tous deux définis à $t$ fixé : le déplacement virtuel $\delta OM(\delta q_1,\dots,\delta q_n)$, écart entre la position réelle et une position possible (nul en $t_1$ et $t_2$), et la vitesse virtuelle $V^*(M,S/R)=V^*(\dot q_1^*,\dots,\dot q_n^*)$, écart entre la vitesse réelle et une vitesse possible (le « hodographe » de la diapo 3). Remarque 2 du poly : « aucun lien avec le mouvement réel ». Remarque 3 : la définition ne suppose aucun espace particulier, c'est juste un champ de vecteurs continu par morceaux.
Un champ est rigidifiant s'il a la forme d'un champ de vitesses de solide : $$V^*(M)=V^*(P)+\Omega^*\times\overrightarrow{PM}.$$ Il est caractérisé par 6 nombres : $V^*(P)$ et $\Omega^*$.
Avec des forces volumiques $f$, une force ponctuelle $F$ appliquée en $P_F$ et un couple $\mathcal M$ : $$P^*_{ext}=\int f\cdot V^*\,dv+F\cdot V^*(P_F)+\mathcal M\cdot\Omega^*.$$ On remplace $V^*$ par sa forme rigidifiante et on utilise le produit mixte $f\cdot(\Omega^*\times\overrightarrow{PM})=\Omega^*\cdot(\overrightarrow{PM}\times f)$. Comme $V^*(P)$ et $\Omega^*$ ne dépendent pas de $M$, ils sortent des intégrales : $$P^*_{ext}=V^*(P)\cdot R_{ext}+\Omega^*\cdot M_{ext}(P),$$ avec $$R_{ext}=\int f\,dv+F,\qquad M_{ext}(P)=\int\overrightarrow{PM}\times f\,dv+\overrightarrow{PP_F}\times F+\mathcal M.$$ Vérification pour la force ponctuelle : $F\cdot V^*(P_F)=F\cdot V^*(P)+F\cdot(\Omega^*\times\overrightarrow{PP_F})=V^*(P)\cdot F+\Omega^*\cdot(\overrightarrow{PP_F}\times F)$.
Il n'y a donc aucune disparition : les intégrales sur tout le volume sont devenues deux vecteurs (résultante et moment). C'est le produit de deux torseurs : le torseur cinématique virtuel $\{\Omega^*,V^*(P)\}$ et le torseur des efforts. C'est exactement le calcul de la diapo 5.
Détail de la diapo 5 : le poly note $M'_{ext\to S}(G)$ l'intégrale $\int\overrightarrow{PM}\times f\,dv$, alors que ce moment est calculé en $P$ (le moment en $G$ serait $\int\overrightarrow{GM}\times f\,dv$). Probablement une coquille de notation, à confirmer avec ton enseignant.
Même calcul avec l'accélération $a$ à la place de $f$, et $\rho\,a\,dv$ comme densité de force : $$P^*_{acc}=\int\rho\,a\cdot V^*\,dv=V^*(P)\cdot\int\rho\,a\,dv+\Omega^*\cdot\int\overrightarrow{PM}\times\rho\,a\,dv.$$ Or $\int\rho\,a\,dv=m\,a(G)$ (définition du centre d'inertie). On note $\delta(P)=\int\overrightarrow{PM}\times\rho\,a\,dv$ le moment dynamique. D'où $$P^*_{acc}=V^*(P)\cdot m\,a(G)+\Omega^*\cdot\delta(P).$$ C'est le produit du torseur cinématique virtuel et du torseur dynamique $\{m\,a(G),\delta(P)\}$.
La partie (ii) du PPV affirme : pour tout mouvement virtuel rigidifiant, $P^*_{int}=0$. Les efforts intérieurs ne travaillent pas dans un mouvement qui ne déforme rien.
hors poly Justification. Pour un système de points avec des forces intérieures d'action-réaction $F_{ij}=-F_{ji}$ colinéaires à $\overrightarrow{ij}$, la puissance virtuelle est $\sum_{\text{paires}}F_{ij}\cdot(V^*_j-V^*_i)$. Dans un champ rigidifiant, $V^*_j-V^*_i=\Omega^*\times\overrightarrow{ij}$ est orthogonal à $\overrightarrow{ij}$, donc chaque terme est nul. En milieu continu, c'est le même fait : le gradient d'un champ rigidifiant est antisymétrique, donc le taux de déformation virtuel est nul.
Pas exactement, et la nuance compte.
Lecture du poly (diapo 8). Le poly écrit : « $S$ solide donc $V^*(M)=V^*(P)+\Omega^*\times\overrightarrow{PM}$ (mouvement rigidifiant), alors $P^*_{int}=0$ ». Il restreint donc les champs virtuels aux champs rigidifiants parce que $S$ est un solide : c'est ce choix qui annule $P^*_{int}$ et permet de regrouper en torseurs. Le PPV (i) de la diapo 4 reste vrai pour tous les champs virtuels, rigidifiants ou non, mais pour un champ non rigidifiant $P^*_{int}$ ne s'annule plus. Les diapos 8-9 enchaînent ensuite trois équivalences : l'égalité $P^*_{acc}=P^*_{ext}$ pour tout $V^*(P)$ et tout $\Omega^*$, puis les deux égalités scalaires (une pour $V^*(P)$, une pour $\Omega^*$), puis les deux égalités vectorielles du PFD.
Dans l'égalité $V^*(P)\cdot\big(m\,a(G)-R_{ext}\big)+\Omega^*\cdot\big(\delta(P)-M_{ext}(P)\big)=0$, $V^*(P)$ et $\Omega^*$ sont arbitraires et indépendants. On obtient donc $$m\,a(G)=R_{ext},\qquad \delta(P)=M_{ext}(P).$$ Intérêts :
Exemple. Pendule simple : avec le PFD, la tension du fil est une inconnue. Avec le PPV et un $V^*$ tangent au cercle, la puissance de la tension est $T\cdot V^*=0$ : elle disparaît tout de suite.
On choisit les $n$ nombres $\dot q_i^*$, qui définissent $$V^*=\sum_i\frac{\partial OP}{\partial q_i}\dot q_i^*.$$ Ce n'est ni « le plus simple » ni « celui qui marche » : le PPV est vrai pour tous les champs. Il s'agit de choisir une famille qui est :
Ce que fait le poly (diapos 14-16). Il impose la forme du champ : on prend la formule de la vitesse réelle, on fige $t$ (le terme $\partial OP/\partial t$ part), et on laisse les $\dot q_i^*$ libres. Ce champ est automatiquement rigidifiant sur chaque $S_j$. Preuve de la diapo 15 :
Ce qu'on « choisit » est donc seulement les nombres $\dot q_i^*$, jamais la forme du champ.
Chemin du poly (diapos 17-20). Il passe par la formule cinématique de Lagrange (diapo 18) : $\dfrac{\partial OP}{\partial q_i}\cdot a(P,S_j/R)=\dfrac12\Big[\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial (V^2)}{\partial\dot q_i}-\dfrac{\partial (V^2)}{\partial q_i}\Big]$. Il l'intègre sur chaque solide (diapo 19), fait apparaître $T(S_j/R)$, et somme sur $j$, ce qui donne $P_i=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial\dot q_i}-\dfrac{\partial T}{\partial q_i}$ avec $T=\sum_jT(S_j/R)$ (diapo 20). Ma démonstration reconstruit ci-dessous est équivalente : elle redémontre cette formule cinématique.
On cherche $P_i$ défini par $P^*_{acc}=\sum_iP_i\,\dot q_i^*$. Deux faits suffisent.
(a) D'après l'expression de $V$ au §0, $\displaystyle\frac{\partial V}{\partial\dot q_i}=\frac{\partial OP}{\partial q_i}$. Le terme $\partial OP/\partial t$ disparaît de cette dérivée, car il ne dépend pas de $\dot q_i$. C'est la même raison qui l'exclut de $V^*$ : $t$ est figé.
(b) Par le théorème de Schwarz, $\displaystyle\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial OP}{\partial q_i}\Big)=\frac{\partial V}{\partial q_i}$.
Alors $$P_i=\int\rho\,a\cdot\frac{\partial OP}{\partial q_i}\,dv=\int\rho\,a\cdot\frac{\partial V}{\partial\dot q_i}\,dv.$$ On écrit $a=dV/dt$ et on intègre « par parties » en temps : $$P_i=\frac{d}{dt}\int\rho\,V\cdot\frac{\partial V}{\partial\dot q_i}\,dv-\int\rho\,V\cdot\frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial\dot q_i}\,dv =\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}.$$ La dernière égalité utilise (b) : $\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial V}{\partial\dot q_i}=\dfrac{\partial V}{\partial q_i}$, puis $\partial T/\partial\dot q_i=\int\rho V\cdot\partial V/\partial\dot q_i$ et $\partial T/\partial q_i=\int\rho V\cdot\partial V/\partial q_i$.
Côté efforts (diapos 17-18), on remplace $V^*$ et $\Omega^*$ par leurs expressions en $\dot q_i^*$ et on regroupe : $P^*_{ext}+P^*_{int}=\sum_iQ_i\,\dot q_i^*$ avec $$Q_i=\sum_j\Big(F_{ext\to S_j}\cdot\frac{\partial V(P,S_j/R)}{\partial\dot q_i}+M_{ext\to S_j}(P)\cdot\frac{\partial\Omega(S_j/R)}{\partial\dot q_i}\Big)+\sum_{j,\;k\lt j}\Big(F_{S_k\to S_j}\cdot\frac{\partial V(P,S_j/R)}{\partial\dot q_i}+M_{S_k\to S_j}(P)\cdot\frac{\partial\Omega(S_j/R)}{\partial\dot q_i}\Big).$$ Les $Q_i$ contiennent donc aussi les efforts intérieurs entre solides : $P^*_{int}$ est nul pour un champ rigidifiant sur tout le système, pas pour un champ rigidifiant seulement par morceau (diapo 13). Ces termes s'annulent pour des liaisons parfaites, ce que le poly suppose à la diapo 24 sans en donner la définition. Le PPV (diapo 20) donne alors $$\sum_i\big(P_i-Q_i\big)\,\dot q_i^*=0.$$
Une liaison est holonome si elle s'écrit $f_j(q_1,\dots,q_n,t)=0$, $j=1,\dots,m$. Elle ne porte que sur les positions.
Le long du mouvement réel, $\displaystyle\frac{d}{dt}f_j=\sum_i\frac{\partial f_j}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial f_j}{\partial t}=0$. Pour un mouvement virtuel, $t$ est figé : le terme en $\partial/\partial t$ disparaît, et la vitesse virtuelle reste tangente à la surface $f_j=0$ : $$\sum_i\frac{\partial f_j}{\partial q_i}\,\dot q_i^*=0,\qquad\text{donc}\quad a_{ij}=\frac{\partial f_j}{\partial q_i}.$$ Ce qu'on « choisit » : on ne choisit pas la liaison, on choisit les $\dot q^*$ admissibles, ceux qui vérifient ces $m$ relations. Deux stratégies :
Une liaison est non holonome si elle porte sur les vitesses et ne s'intègre pas en une relation entre les $q_i$ : $$\sum_i a_{ij}(q,t)\,\dot q_i+b_j(q,t)=0,\qquad j=1,\dots,m.$$ Les $a_{ij}$ sont donc les coefficients de cette relation linéaire en $\dot q$. Exemple classique : le roulement sans glissement d'une roue. Dans le cas holonome, c'est la même forme avec $a_{ij}=\partial f_j/\partial q_i$ et $b_j=\partial f_j/\partial t$.
Dans le poly (diapo 21) : liaison holonome $f(q,t)=0$ ; non holonome $f(q,\dot q,t)=0$, « en général sous la forme $a_{ij}\dot q_j+b_j=0$ où les $b_j$ sont liés aux obstacles extérieurs ». Ces $b_j$ sont les termes qui portent le temps (support ou obstacle qui bouge). À $t$ fixé, ils disparaissent et il reste $a_{ij}\dot q_j^*=0$.
Piège de notation : la diapo 21 somme sur $j$ (l'indice $i$ numérote la relation), alors que la diapo 23 définit les vecteurs $a_j=(a_{1j},\dots,a_{nj})$ et somme sur $i$ ($j$ numérote la relation). Je suis la convention de la diapo 23, la seule cohérente avec les multiplicateurs.
La vitesse réelle vérifie $\sum_i a_{ij}\dot q_i+b_j=0$. Un mouvement virtuel est une vitesse « possible à $t$ fixé ». Le terme $b_j$ est lié au temps (c'est $\partial f_j/\partial t$ dans le cas holonome) : en figeant $t$, il disparaît. On peut aussi le voir comme la différence de deux vitesses possibles. Il reste $$\sum_i a_{ij}\,\dot q_i^*=0,\qquad j=1,\dots,m.$$ On note $E$ l'ensemble des $\dot q^*\in\mathbb R^n$ qui vérifient ces $m$ relations : c'est l'espace des vitesses virtuelles admissibles.
Tu as raison : il faut une hypothèse supplémentaire.
Notons $A$ la matrice $n\times m$ de coefficients $a_{ij}$ et $a_j$ sa $j$-ième colonne. Alors $E=\ker A^{T}$. En dimension finie, $E^\perp=(\ker A^T)^\perp=\operatorname{Im}A=\operatorname{Vect}(a_1,\dots,a_m)$. Il existe donc $\mu_1,\dots,\mu_m$ tels que $$P_i-Q_i=\sum_{j=1}^m\mu_j\,a_{ij},\qquad i=1,\dots,n.$$ Les $\mu_j$ sont les multiplicateurs de Lagrange. Si les $a_j$ sont indépendants, $E^\perp$ est de dimension $m$.
Précision sur le poly. La phrase « engendrés par le même espace » (diapo 23) est imprécise. Ce qui est vrai : $D$ et les $a_j$ sont tous orthogonaux à $E$. Si les $a_j$ sont indépendants, alors $E^\perp=\operatorname{Vect}(a_j)$.
Coquilles probables de la diapo 23 : les multiplicateurs sont introduits avec l'indice $k=1,\dots,m$ puis écrits $\mu_j$ dans la formule $P_i-Q_i=\sum_ja_{ij}\mu_j$ ; et $m$ y désigne le nombre de relations de liaison, alors qu'il désigne le nombre de solides aux diapos 12 et 22. La formule à retenir est $P_i-Q_i=\sum_{j=1}^m a_{ij}\mu_j$, sans convention de signe imposée.
Les équations : $n$ équations de Lagrange $P_i-Q_i=\sum_j\mu_ja_{ij}$ et $m$ équations de liaison ($f_j=0$ ou $\sum_ia_{ij}\dot q_i+b_j=0$). Cela fait bien $n+m$ équations.
hors poly Sens physique. Pour des liaisons parfaites, la puissance virtuelle des efforts de liaison est nulle pour tout $\dot q^*\in E$. Les $Q_i$ ne contiennent alors que les efforts donnés, et $P_i-Q_i=Q_i^{\text{liaison}}$. Le terme $\sum_j\mu_ja_{ij}$ est donc l'effort généralisé de liaison : $\mu_j$ mesure l'intensité de l'effort de liaison dans la direction $a_j$.
Hypothèses du poly (diapo 24) : paramètres indépendants ($q_i$, $\dot q_i$, $t$), liaisons parfaites, efforts qui dérivent d'un potentiel $V$ avec $Q_i=-\partial V/\partial q_i$. Le poly justifie $\partial V/\partial\dot q_i=0$ par le fait que $V$ dérive d'un potentiel dépendant des $q_i$ seulement, donc pas de $\dot q_i$. Alors $Q_i=-\partial V/\partial q_i$ et l'équation de Lagrange devient $$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}=-\frac{\partial V}{\partial q_i}.$$ Comme $\partial V/\partial\dot q_i=0$, on peut mettre $V$ dans les deux termes de gauche : $$\boxed{\;\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0,\qquad L=T-V.\;}$$ L'intérêt est pratique :
Calcul des $Q_i$ pour des efforts conservatifs (diapo 25). Si l'action $\Phi$ dérive d'une énergie potentielle $E_\Phi$, alors $Q_i=-\partial E_\Phi/\partial q_i$. Le poly utilise aussi la fonction de force $U_\Phi=-E_\Phi$, avec $Q_i=+\partial U_\Phi/\partial q_i$. Ses exemples : pesanteur $U=\overrightarrow{OG}\cdot m\,\vec g$ ; ressort $U=-\tfrac12k(x-x_0)^2$. Attention au signe : dans $L=T-V$, c'est $V=E_\Phi=-U$ qui intervient. Pour les efforts non conservatifs, le poly renvoie au « TD Équations de Lagrange », que je n'ai pas reçu.
Exemple : pendule simple. Avec $\theta$ mesuré depuis la verticale basse, $T=\tfrac12ml^2\dot\theta^2$ et $V=-mgl\cos\theta$, donc $L=\tfrac12ml^2\dot\theta^2+mgl\cos\theta$. L'équation donne $ml^2\ddot\theta=-mgl\sin\theta$.
Un point matériel $M$ de masse $m$ glisse sans frottement sur un cercle vertical de centre $O$ et de rayon $R$, dans le plan $(O,x,y)$, avec $y$ vertical ascendant et $g$ l'accélération de la pesanteur.
Indices. (1) $f=x^2+y^2-R^2$, donc $a=(2x,2y)$. (2) $Q=(0,-mg)$. (3) Compare $\mu a$ avec $\pm N\,\overrightarrow{OM}/R$ selon ta convention de signe. (4) Compare avec l'exemple du pendule simple.
Corrigé : dans ma première version, j'avais écrit que $P^*_{int}=0$ dans le PPV à plusieurs solides et que les $Q_i$ ne contenaient que les efforts extérieurs. C'était faux d'après les diapos 13 et 17-18 : les $Q_i$ incluent les efforts entre solides, et c'est l'hypothèse de liaisons parfaites (diapo 24) qui les fait disparaître.